斯沃特定理

斯特瓦爾特定理

平面幾何學定理之一

斯特瓦爾特(Stewart)定理：設已知△ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。該定理是由斯特瓦爾特提出的。在初高中數學競賽中十分常見，特別是其推論，也就是能夠直接寫出三角形中線長和角平分線長的公式，以及平行四邊形四條邊平方和等於對角線平方和重要定理。

斯特瓦爾特定理、斯氏定理、斯坦沃特定理），又稱為阿波羅尼奧斯定理：

任意三角形ABC中，D是邊BC上一點，連線AD，則

設BC=a，AC=b，AB=c，BD=u，CD=v，AD=w，則

另一種表達形式：

即

2證明

過點A作AE⊥BC於E， 設DE = x(假設底邊四點從左到右順序為B、D、E、C） 則 AE^2 = b^2 - (v-x)^2 = c^2 - (u+x)^2 = AD^2 - x^2 若E在BC的延長線上，則v-x換成x-v

所以有 AD^2 = b^2 - v^2 + 2vx

AD^2 = c^2 - u^2 - 2ux

1*u式+2*v式得

AD^2(u+v) = b^2u + c^2v - uv(u + v)

故 AD^2 = (b^2u + c^2v)/a - uv

1)當AD是△ABC中線時， u = v = 1/2a AD^2 = (b^2+c^2-(a^2)/2)/2

2)當AD是△ABC內角平分線時， 由三角形內角平分線的性質， 得u = ac/(b+c)， v =ab/(b+c)