函式中心對稱的知識點
如果一個函式影象繞著某點p旋轉180度後與原影象重合,就說這個函式中心對稱。最常見的是關於原點中心對稱。若f(-x)=-f(X),就稱函式f(X)關於原點中心對稱,如y=ⅹ,y=1/x都是關於原點中心對稱的。
1、對稱性的概念
函式軸對稱:如果一個函式的影象沿一條直線對摺,直線兩側的影象能夠完全重合,則稱該函式具備對稱性中的軸對稱,該直線稱為該函式的對稱軸。
中心對稱:如果一個函式的影象沿一個點旋轉180度,所得的影象能與原函式影象完全重合,則稱該函式具備對稱性中的中心對稱,該點稱為該函式的對稱中心。
2、常見函式的對稱性(所有函式自變數可取有意義的所有值)
常數函式:既是軸對稱又是中心對稱,其中直線上的所有點均為它的對稱中心,與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸。
一次函式:既是軸對稱又是中心對稱,其中直線上的所有點均為它的對稱中心,與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸。
二次函式:是軸對稱,不是中心對稱,其對稱軸方程為x=-b/(2a)。
反比例函式:既是軸對稱又是中心對稱,其中原點為它的對稱中心,y=x與y=-x均為它的對稱軸。
指數函式:既不是軸對稱,也不是中心對稱。
對數函式:既不是軸對稱,也不是中心對稱。
冪函式:顯然冪函式中的奇函式是中心對稱,對稱中心是原點冪函式中的偶函式是軸對稱,對稱軸是y軸而其他的冪函式不具備對稱性。
正弦函式:既是軸對稱又是中心對稱,其中(kπ,0)是它的對稱中心
x=kπ+π/2是它的對稱軸。
正弦型函式:正弦型函式y=Asin(ωx+φ)既是軸對稱又是中心對稱,只需從ωx+φ=kπ中解出x,就是它的對稱中心的橫座標,縱座標當然為零隻需從ωx+φ=kπ+π/2中解出x,就是它的對稱軸需要注意的是如果影象向上向下平移,對稱軸不會改變,但對稱中心的縱座標會跟著變化。
餘弦函式:既是軸對稱又是中心對稱,其中x=kπ是它的對稱軸,(kπ+π/2,0)是它的對稱中心。
正切函式:不是軸對稱,但是是中心對稱,其中(kπ/2,0)是它的對稱中心,容易犯錯誤的是可能有的同學會誤以為對稱中心只是(kπ,0)。
對號函式:對號函式y=x+a/x(其中a>0)因為是奇函式所以是中心對稱,原點是它的對稱中心。但容易犯錯誤的是同學們可能誤以為最值處是它的對稱軸,例如在處理函式y=x+1/x時誤以為會有f0.5)=f(1.5),我在教學時總是問學生:你可看見過老師將“√”兩邊畫得一樣齊學生們立刻明白並記憶深刻。
三次函式:顯然三次函式中的奇函式是中心對稱,對稱中心是原點,而其他的三次函式是否具備對稱性得因題而異。
絕對值函式:這裡主要說的是y=f(│x│)和y=│f(x)│兩類。前者顯然是偶函式,它會關於y軸對稱後者是把x軸下方的影象對稱到x軸的上方,是否仍然具備對稱性,這也沒有一定的結論,例如y=│lnx│就沒有對稱性,而y=│sinx│卻仍然是軸對稱。
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