加法的同餘性質

100除以7的餘數是2，意思就是說把100個東西七個七個分成一組的話最後還剩2個。餘數有一個嚴格的定義：假如被除數是a，除數是b（假設它們均為正整數），那麼我們總能夠找到一個小於b的自然數r和一個整數m，使得a=bm+r。這個r就是a除以b的餘數，m被稱作商。我們經常用mod來表示取餘，a除以b餘r就寫成a mod b = r。

如果兩個數a和b之差能被m整除，那麼我們就說a和b對模數m同餘（關於m同餘）。比如，100-60除以8正好除盡，我們就說100和60對於模數8同餘。它的另一層含義就是說，100和60除以8的餘數相同。a和b對m同餘，我們記作a≡b(mod m)。比如，剛才的例子可以寫成100≡60(mod 8)。你會發現這種記號到處都在用，比如和數論相關的書中就經常把a mod 3 = 1寫作a≡1(mod 3)。

之所以把同餘當作一種運算，是因為同餘滿足運算的諸多性質。比如，同餘滿足等價關係。具體地說，它滿足自反性（一個數永遠和自己同餘）、對稱性（a和b同餘，b和a也就同餘）和傳遞性（a和b同餘，b和c同餘可以推出a和c同餘）。這三個性質都是顯然的。

同餘運算裡還有稍微複雜一些的性質。比如，同餘運算和整數加減法一樣滿足“等量加等量，其和不變”。國小我們就知道，等式兩邊可以同時加上一個相等的數。例如，a=b可以推出a+100=b+100。這樣的性質在同餘運算中也有：對於同一個模數m，如果a和b同餘，x和y同餘，那麼a+x和b+y也同餘。在我看來，這個結論幾乎是顯然的。當然，我們也可以嚴格證明這個定理。這個定理對減法同樣有效。

性質：如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，則a+x≡b+y(mod m)。

證明：條件告訴我們，可以找到p和q使得a-mp = b-mq，也存在r和s使得x-mr = y-ms。於是a-mp + x-mr = b-mq + y-ms，即a+x-m(p+r) = b+y-m(q+s)，這就告訴我們a+x和b+y除以m的餘數相同。

容易想到，兩個同餘式對應相乘，同餘式兩邊仍然相等：

如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，則ax≡by(mod m)。

證明：條件告訴我們，a-mp = b-mq，x-mr = y-ms。於是(a-mp)(x-mr) = (b-mq)(y-ms)，等式兩邊分別展開後必然是ax-m(…) = by-m(…)的形式，這就說明ax≡by(mod m)。

現在你知道為什麼有的題要叫你“輸出答案mod xxxxx的結果”了吧，那是為了避免高精度運算，因為這裡的結論告訴我們在運算過程中邊算邊mod和算完後再mod的結果一樣。假如a是一個很大的數，令b=a mod m，那麼(a * 100) mod m和(b * 100) mod m的結果是完全一樣的，這相當於是在a≡b (mod m)的兩邊同時乘以100。這些結論其實都很顯然，因為同餘運算只關心餘數（不關心“整的部分”），完全可以每一次運算後都只保留餘數。因此，整個運算過程中參與運算的數都不超過m，避免了高精度的出現。

在證明Fermat小定理時，我們用到了這樣一個定理：

如果ac≡bc(mod m)，且c和m互質，則a≡b(mod m) （就是說同餘式兩邊可以同時除以一個和模數互質的數）。

證明：條件告訴我們，ac-mp = bc-mq，移項可得ac-bc = mp-mq，也就是說(a-b)c = m(p-q)。這表明，(a-b)c裡需要含有因子m，但c和m互質，因此只有可能是a-b被m整除，也即a≡b(mod m)。