求費馬大定理的全部證明過程
證明費馬大定理(證明過程詳解)
已知:a^2+b^2=c^2
令c=b+k,k=1.2.3……,則a^2+b^2=(b+k)^2。
因為,整數c必然要比a與b都要大,而且至少要大於1,所以k=1.2.3……
設:a=d^(n/2),b=h^(n/2),c=p^(n/2)
則a^2+b^2=c^2就可以寫成d^n+h^n=p^n,n=1.2.3……
當n=1時,d+h=p,d、h與p可以是任意整數。
當n=2時,a=d,b=h,c=p,則d^2+h^2=p^2 => a^2+b^2=c^2。
當n≥3時,a^2=d^n,b^2=h^n,c^2=p^n。
因為,a=d^(n/2),b=h^(n/2),c=p^(n/2)要想保證d、h、p為整數,就必須保證a、b、c必須都是完全平方數。
∴a、b、c必須是整數的平方,才能使d、h、p在d^n+h^n=p^n公式中為整數。
假若d、h、p不能在公式中同時以整數的形式存在的話,則費馬大定理成立。
設a=mk,則b=k(m^2-1)/2。
令m=k,則a=m^2,b=m(m^2-1)/2,令m/2=(m^2-1),則b=(m/2)^2,c=(m/2)^2+m。
則a^2+b^2=c^2 => m^4+(m/2)^4=[(m/2)^2+m]^2=>m^2(2m^2-m-2)=0,m1=0(捨去),m2=(1±√17)/4(非整數)。
此外,當m/2=(m^2-1)時,(也可以讓)b=(m^2-1)^2
則a^2+b^2=c^2 => m^4+(m^2-1)^4=[(m^2-1)^2+m]^2=> m(m^2-1)(2m^2-m-2)=0,m1=0,m2=±1,m3=(1±√17)/4。
驗證:當m=±1時,b=h^(n^2)=(m^2-1)^2=0即a^2=c^2。與題要求不符。
假若d、h、p可以以整數的形式出現,說明等式d^n+h^n=p^n成立,費馬大定理不成立。否則,d^n+h^n≠p^n不等式成立,費馬大定理成立。
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