最小角定理證明過程

斜線和平面所成的角，是平面的斜線和它在平面內的射影所成的角，它是這條斜線和這個平面內任一條直線所成的角中最小的角。即最小角定理

根據空間角的餘弦公式（這個很容易推導）：線面角(與平面所成的那個角)θ，斜線角（線-線角）α，射影交角（正射影與斜射影夾角）β有簡單餘弦關係

cos(α)=cos(β)cos(θ)，於是cos(α)≤cos(θ)，由單調性可知，θ≤α.因此，θ是最小角

最小角定理也叫三餘弦定理。

設A為面上一點，過A的斜線AO在面上的射影為AB，AC為面上的一條直線，那麼∠OAC，∠BAC，∠OAB三角的餘弦關係為：

cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB (∠BAC和∠OAB只能是銳角）

通俗點說就是，平面α的一條斜線l與α所成角為θ1，α內的直線m與l在α上的射影l‘夾角為θ2，l與m所成角為θ，則cosθ=cosθ1*cosθ2.又叫最小角定理或爪子定理，可以用於求平面斜線與平面內直線成的最小角．

已知OA是面α的一條斜線，OB⊥α。在α內過B作BC⊥AC，垂足為C，連線OC。OA和α所成角∠OAB=θ1，AC和AB所成角∠BAC=θ2，OA和AC所成角∠OAC=θ。求證cosθ=cosθ1*cosθ2

證明：

∵OB⊥α

∴BC是OC在α上的射影

∵BC⊥AC

∴OC⊥AC（三垂線定理）

由三角函式的定義可知

cosθ1=AB/OA，cosθ2=AC/AB，cosθ=AC/OA

∴cosθ1*cosθ2=AB/OA*AC/AB=AC/OA=cosθ

或利用三面角餘弦定理來證明。

在三面角A-OBC中，設二面角O-AB-C為∠AB，易證∠AB=90°

由三面角餘弦定理得

cos∠OAC=cos∠OAB*cos∠CAB+sin∠OAB*sin∠CAB*cos∠AB

即cosθ=cosθ1*cosθ2+sinθ1*sinθ2*cos90°=cosθ1*cosθ2