求二元一次函式極值的方法

我們都知道，二元一次函式的一般表示式為y=Kx+b。要求這個二元一次函式的極值，首先，我們必須知道這個二元一次函式的定義域。假設這個二元一次函式的定義域為≤ax≤b，那麼這個二元一次函式的極值分別是:當K<0時，極大值為Ka+c，極小值為Kb十c，當K>0時，極大值為Kb十C，極小值為Ka+C。

類似一元函式， 二元函式的極值與其偏導數密切相關． 以下討論中， 我們假設在某區域內二元函式的一階偏導處處存在（即函式曲面處處光滑）． 如果二元函式  在某點  處對  的偏導數都為零， 那麼  就叫做函式  的駐點． 根據式 9 ， 駐點處各個方向的方向導數也都為零．

我們先來定義二元函式的極值點， 以駐點為圓心在  平面上作一個圓形區域， 若當半徑足夠小時，  是該圓形區域的最大值或最小值， 那麼該駐點就是極大值點或極小值點． 與一元函式類似， 駐點不一定是極值點． 例如  在座標原點的兩個一階偏導都為零， 但原點並不是極值點． 為了判斷駐點是不是極值點， 也需要用到二階偏導（假設駐點處的各個二階偏導都存在）． 如果滿足

則駐點是極值點． 如果  和  都大於零1， 則極值為極小值， 若都小於零， 則極值為極大值．

證明

類比一元函式的證明， 要證明二元函式的某點是極值點， 就要證明該點的任意二階方向導數都大於零或都小於零2． 令某方向為 ， 由式 9 得該方向的方向導數為

再次求方向導數得二階方向導數為

如果你還不習慣看算符的平方， 可以把上式的括號項平方看做兩個括號項， 依次作用在函式上． 以極小值為例， 令上式恆大於零， 併除以  得

上式左邊是關於  的二次函式， 若要恆大於零， 則二次項係數要大於零， 且判別式需小於零， 立即可得式 1 ． 同理可得極大值條件．

1、 根據式 1 ， 只需驗證  或  中的任意一個大於零， 另外一個就必定大於零．

2、 否則延一個方向前進函數值會越來越大， 而延另一個方向前進函式值會越來越小， 這個點就不是極值點