餘弦定理是怎麼推導的

  歐幾里得的餘弦定理（也稱為歐氏定理）指出，在任意一個三角形中，其三條邊的平方和等於第三條邊的平方乘以2： a2 + b2 = c2 × 2 其中，a、b、c分別代表三角形的三條邊的長度。 

  歐氏定理的推導過程： 

 （1）首先，畫出一個三角形ABC，其中AB為斜邊，∠CAB=α。 

 （2）把C點移動到A點，得到AB和BC兩條線段，它們之間有一個角α=∠CAB。 

 （3）從A點引出一條垂線CD，它與AB連線點A共同構成四邊形ABCD。 

 （4）因為∠ACD=90°，∠ABC=90°，因此四邊形ABCD是平行四邊形。 

 （5）兩個平行四邊形的兩個對角線之間的關係是：它們的乘積等於兩個相鄰邊的乘積，即： AB × CD = AC × BD 

 （6）由平行四邊形的兩個對角線之間的關係可知： AB² = AC × BD 

 （7）由步驟（2）可知：AB=AC+BC，因此： AB² = (AC+BC)² 

 （8）將（7）式中的(AC+BC)²展開： AB² = AC² + 2AC × BC + BC² 

 （9）由步驟（6）可知：AB² = AC × BD，因此： AC × BD = AC² + 2AC × BC + BC² 

 （10）令BD=2，則有： AC × 2 = AC² + 2AC × BC + BC² 

 （11）將（10）式中的2移到右邊： AC × 2 - 2AC × BC - AC² = BC² 

 （12）將（11）式中的AC²和2AC × BC合併： AC² + 2AC × BC = BC² 

 （13）將（12）式中的2AC × BC移到左邊： 2AC × BC = BC² - AC² 

 （14）將（13）式中的BC²和AC²合併： 2AC × BC = BC² - AC² 

 （15）將（14）式中的2AC × BC移到右邊： BC² - AC² = 2AC × BC 

 （16）將（15）式中的BC²和AC²合併： BC² = AC² + 2AC × BC 

 （17）綜上所述，得出歐氏定理： a2 + b2 = c2 × 2

教材餘弦定理是用平面向量數量積推出來的。△ABC中，向量BC＝向量AC－向量AB，兩邊平方得a＾2＝b＾2＋C＾2一2bCcosA。未學平面向量之前運用兩點間距離推匯出來的。