求原函式的幾種方法

求一個導數的原函式使用積分，積分是微分的逆運算，即知道了函式的導函式，反求原函式。

積分求法：

1、積分公式法。直接利用積分公式求出不定積分。

2、換元積分法。換元積分法可分為第一類換元法與第二類換元法。

（1）第一類換元法（即湊微分法）。通過湊微分，最後依託於某個積分公式。進而求得原不定積分。

（2）第二類換元法經常用於消去被積函式中的根式。當被積函式是次數很高的二項式的時候，為了避免繁瑣的展開式，有時也可以使用第二類換元法求解。

3、分部積分法。設函式和u，v具有連續導數，則d(uv)=udv+vdu。移項得到udv=d(uv)-vdu

求原函式的幾種方法

如果f(x)在區間I上有原函式，即有一個函式F(x)使對任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那麼對任何常數顯然也有[F(x)+C]'=f(x).即對任何常數C，函式F(x)+C也是f(x)的原函式。這說明如果f(x)有一個原函式，那麼f(x)就有無限多個原函式。

設G(x)是f(x)的另一個原函式，即∀x∈I，G'(x)=f(x)。於是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由於在一個區間上導數恆為零的函式必為常數，所以G(x)-F(x)=C’(C‘為某個常數)。

這表明G(x)與F(x)只差一個常數。因此，當C為任意常數時，表示式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一個原函式。也就是說f(x)的全體原函式所組成的集合就是函式族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。