子群的判定定理

子群判定定理：

設G是一個群 ，H是其子群。 若H的左陪集與右陪集總是相等（對任何的a∈G，aH=Ha）， 則稱H是G的正規子群或不變子群，記為H⊴G。

注：(1) 任何群G都有正規子群，因為G的兩個平凡子群G和{e}都是G的正規子群。 (2) 若G是交換群， 則G的所有子群都是正規子群。

驗證H為G的一個子群H≤G，需要驗證下面幾條：

1. G的運算是H的運算，運算封閉性

2. 存在單位元

3. 每個元素都存在逆元。

結合律不需要驗證，在大的集合G中滿足結合律，在小集合H內自然滿足。

實際上我們不需要驗證這三條。

定理2：設G 是群，則非空子集合H≤G若且唯若：

[公式]

證明：（1）說明G的運算也是H的運算，（2）說明H中每個元素都有逆。從而 [公式] ，H有單位元。

我們更常用的是將這兩條結合在一起的子群判定定理：

定理3：設G 是群，則非空子集合H≤G若且唯若：

[公式]

顯然，只需證明充分性：（1） [公式]

(2） [公式] (3)[公式]

對於一個有限子集合，我們甚至可以只驗證運算是封閉的，也就是是子集合上的運算。

推論1：設G是群，則非空有限子集合H≤G若且唯若： ∀a，b∈H⇒ab∈H.

證明：（充分性）有限子集H上運算滿足消去律，從而是群. 當然也可以直接構造出單位元和每個元素的逆元。由運算封閉性 [公式] ，只需注意H是有限集合，故必存在某個s>t，使得 [公式] ，在群G中利用消去律，可得 [公式]