逆概率公式的推導

一、概率公式和貝葉斯公式

1、概率的加法公式

①若事件A與事件B互斥，則P（A∪B）=P（A）+P（B）。

②若事件A與事件B互為對立事件，則A∪B 為必然事件，P（A∪B）=1，P（A）=1-P（B）。

當一個事件的概率不易求出，但其對立事件的概率容易求出時，可運用此公式，即間接法求概率。

2、已知兩個事件A，B的概率分別為P（A），P（B），那麼有如下結論：

（1）A，B中至少有一個發生，其概率為P（A∪B）。

若A，B互斥，則有P（A∪B）=P（A）+P（B）。

若A，B相互獨立，則有P（A∪B）=1-

P(A―)P(B―)或P（A∪B）=P(A)+P(B)−P(AB)。

（2）A ，B都發生，其概率為P（AB）。

若A，B互斥，則有P（AB）=0。

若A，B相互獨立，則有P（AB）=P（A）P（B）。

（3）A ，B都不發生，其概率為

P(A―B―)。

若A，B互斥，則

P(A―B―)=1-[P(A)+P(B)]。

若A，B相互獨立，則有

P(A―B―)=

P(A―)P(B―)。

（4）A ，B恰有一個發生，其概率為

P(AB―∪A―B)。

若A，B互斥，則有

P(AB―∪A―B)=P（A）+P（B）。

若A，B相互獨立，則有

P(AB―∪A―B)=

P(A)P(B―)+P(A―)P(B)。

（5）A，B中至多有一個發生，其概率為

P(A―B―∪AB―∪A―B)。

若A，B互斥，則

P(A―B―∪AB―∪A―B)=1。

若A，B相互獨立，則

P(A―B―∪AB―∪A―B)=1-P（A）P（B）。

3、條件概率公式：

P(B|A)=P(AB)P(A)(在事件A發生的條件下，事件B發生的概率)。

4、全概率公式：

P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B|Ai)，i=1，2，⋯，n。

5、貝葉斯公式：

P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)∑k=1nP(Ak)P(B|Ak)，i=1，2，⋯，n。

二、概率公式的相關例題

已知隨機事件，A，B發生的概率滿足條件

P(A∪B)=34，某人猜測事件

A―∩B―發生，則此人猜測正確的概率為

A．1B．

12C．

14D．0

C

解析：事件

A―∩

B―與事件A∪B是對立事件，則P(

A―∩

B―)=1-P(A∪B)=1-

34=

14，故選：C。