泊松分佈的和服從什麼分佈

獨立的泊松分佈之和仍服從泊松分佈。

可以證明，並且這些柏鬆分佈各自的引數還不一樣。

設X1服從引數為λ1的柏鬆分佈

設X2服從引數為λ2的柏鬆分佈。

則對於任意非負整數k，有

P(X1 = k) = e^(-λ1) * λ1^k / k!

P(X2 = k) = e^(-λ2) * λ2^k / k!

於是(sum表示求和)

P(X1 + X2 = m) = sum (P(X1 = k)P(X2 = m - k)， k=0，1，...，m) (獨立性，全概率公式)

= sum ([e^(-λ1) * λ1^k / k!][e^(-λ2) * λ2^(m-k) / (m-k)!]， k=0，1，...，m)

= e^(-λ1-λ2) λ2^m/m! * sum(m! / [k!(m-k)!] * (λ1/λ2)^k， k=0，1，...，m)

= e^(-λ1-λ2) λ2^m/m! * (1 + λ1/λ2)^m (二項式定理)

= e^(-λ1-λ2) (λ1+λ2)^m / m!

即得X1 + X2符合Po(λ1+λ2)。用數學歸納法可證n個獨立柏鬆變數的和服從

Po(λ1+λ2+...+λn)

擴充套件資料：

實際事例中，當一個隨機事件，例如某電話交換臺收到的呼叫、來到某公共汽車站的乘客、某放射性物質發射出的粒子、顯微鏡下某區域中的白血球等等，以固定的平均瞬時速率λ（或稱密度）隨機且獨立地出現時，那麼這個事件在單位時間（面積或體積）內出現的次數或個數就近似地服從泊松分佈P(λ)。

因此泊松分佈在管理科學、運籌學以及自然科學的某些問題中都佔有重要的地位。（在早期學界認為人類行為是服從泊松分佈，2005年在nature上發表的文章揭示了人類行為具有高度非均勻性。）