n的階乘分之一的n次方根的極限

n的n分之一次方的極限等於1。將n換為x，即求：lim[x→+∞] x^(1/x)=lim[x→+∞] e^[(1/x)lnx]=e^[lim[x→+∞] (1/x)lnx]，洛必達法則=e^[lim[x→+∞] (1/x)]=e^0=1。

證明：n^(1/n)的極限為1記n^(1/n)=1+a(n)， 則n=(1+a(n))^n>n(n-1)/2 * (a(n))^2， 所以0<a(n)<(2/(n-1))^(1/2)對任意ε>0， 取N=1+ 2/ε^2， 當n>N時|n^(1/n)-1|=a(n)<(2/(n-1))^(1/2)<ε所以lim(n^(1/n))=1。“極限”是數學中的分支——微積分的基礎概念，廣義的“極限”是指“無限靠近而永遠不能到達”的意思。

解：分享一種解法。用斯特林公式[當n→∞時，n!=√(2πn)(n/e)^n]替換，原式=lim(n→∞)(2^n)/(n!)=lim(n→∞)[1/√(2πn)](2e/n)^n=0。供參考。