反對稱矩陣有什麼特徵

充分性：因為A的二次型為零，即 x^TAx = 0，所以 x^TA^Tx = 0x^T(A+A^T)x = 0又因為A+A^T 也是對稱矩陣，所以A+A^T=0，即 A^T = -A，所以：A 為反對稱矩陣。

必要性：顯然成立。

設A為n維方陣，若有A'=-A，則稱矩陣A為反對稱矩陣。對於反對稱矩陣，主對角線上的元素全為零，而位於主對角線兩側對稱的元反號。反對稱矩陣具有很多良好的性質，如若A為反對稱矩陣，則A'，λA均為反對稱矩陣若A、B均為反對稱矩陣，則A±B也為反對稱矩陣

設A為反對稱矩陣，B為對稱矩陣，則AB-BA為對稱矩陣奇數階反對稱矩陣的行列式必為0。反對稱矩陣的特徵值是0或純虛數，並且對應於純虛數的特徵向量的實部和虛部形成的實向量等長且互相正交。

擴充套件資料：

1、反對稱矩陣的特徵值是0或純虛數，並且對應於純虛數的特徵向量的實部和虛部形成的實向量等長且互相正交。

2、奇數階反對稱矩陣的行列式必為0。

3、設A、B為反對稱矩陣，AB不一定是反對稱矩陣。

4、設A為反對稱矩陣，若A的階數為奇數，則A的行列式為0A的階數為偶數，則根據具體情況計算。