黎曼猜想素數通項公式

黎曼猜想素數的通項公式如下

公式1的每一項都 > 0，顯然它的解只能是複數解x + yi，不能是實數解。

在1859年，黎曼向柏林科學院提交了一份標題為《論小於給定數值的素數個數》的論文，該論文僅僅只有八頁，卻讓接下來的數學家忙碌了一百多年

素數的分布是有規律的，這個規律就是黎曼猜想。

黎曼認為：素數的分佈和公式1（黎曼函式）的零點有關，解的實部都在x = 1/2的直線上。

公式1的每一項都 > 0，顯然它的解只能是複數解x + yi，不能是實數解。

1859年前，黎曼提出：這些與素數的分佈相關的解，都在x = 1/2上。

公式1在高數上叫做調和級數，當s > 1時它是收斂的。

在我的上一篇文章裡，曾經用概率論把它湊出來過，這裡簡單重複一下這個過程：

1，從大於1的整數裡對2的倍數進行取樣，一個數被取到的概率是1/2。

2，然後在剩下的數裡對3的倍數進行取樣，一個數被取到的概率是1/3。

3，然後依次對5、7、11、...... 的倍數進行取樣，概率依次是1/5，1/7，1/11，......

4，依次對素數的倍數進行取樣，可以取遍從2開始的所有整數，總概率是1。

5，在素數的公倍數（6、30、210，...）上雖然會有重複取樣，但是這個重複概率隨著個數的增長快速地下降，可以推測這個級數是收斂的：

6，但是素數之間的步長不是1，下一個位置不好確定，把步長改成1之後就變成了：

公式3顯然不收斂，高數上有證明。

如果像物理一樣用實驗證明的話，我們可以做一個思想實驗

2、4、8的倍數是冪級數（3、9、27的倍數也一樣），它們與6、30、210這種素數的公倍數不一樣，後者顯然下降得更快。

為了平衡這一點，給每一項加一個指數s：

當s > 1時，1/2、1/4、1/8之間的差距會被指數s放大，從而抑制4、8的倍數在級數裡的作用，讓級數變得收斂。

這樣，我們就用工程師的思路，湊出瞭如下的公式4：

它與黎曼函式只差第1項的值1。

對第一項的實驗解釋是對所有整數取樣，其他各項的解釋是對2， 3， 5， ...的倍數依次取樣。

指數s的抑制作用，很容易估算出來。

對於2、4、8的倍數來說，不重複的情況下采樣概率是1/2，即：

這是一個等比數列，它的和是：

可以得出s = ln3/ln2（大約1.5849）時，就能抑制2的高次冪的干擾。

也可以求出3、5、7的倍數對應的s來：s = ln(p+1)/lnp，p是對應的素數。

s的值與素數的值n

黎曼之所以要把它搞成複變函式的零點問題，恐怕是因為多項式在實數域裡沒法解，而在複數域裡都是可解的。

如果繼續在實數域裡折騰，除了畫出一個關於s的級數的近似影象之外，就沒辦法研究下去了。

這個級數既然能把素數的分佈規律對映到實數域，那麼按照對稱性來說，也能把它對映到複數域。

對映到複數域裡之後，素數序列對整數取樣概率的總和就是-1，其他所有項與第1項的總和就是0了：正好可以通過複變函式的零點問題來解決。

例如，2對應的取樣概率是1/2，那麼總可以選一個合適的複數指數讓它變成-1/2，這個在複數域裡是可以做到的。

前面我們計算了，s = ln(p+1) / lnp 時就可以抑制素數p的高次冪的影響。

可以推測，存在一個最佳的s值，可以平衡所有素數的影響：既不會讓更大的素數丟失資訊，也不會讓它們的影響過大。

可以推測，跟素數的分佈規律有關的s值，也是類似e這樣的一個超越數。

它應該像e一樣包含了很多的資訊。

e包含的是整數的階乘資訊，用它正好可以簡化導數運算，因為冪函式連續求導的係數正好是階乘。

科普到這裡，黎曼猜想有待數學大牛們的進一步研究。

我之所以更喜歡物理，就是物理可以各種近似和湊數，而數學不能

實驗證明，在物理上就可以當作真相，但在數學上什麼用也沒有。