n階導數公式

所謂n階導數，其實是指對函式進行n次求導，就求函式的高階導數中的n階導數。關於n階導數的常見公式可以分成兩類：一類是常見導數，也就是初等函式的特殊形式的n階導數另一類是複合函式，包括四則運算的n階導數公式。

第一類常見的n階導數公式，主要包括冪函式，對數函式，指數函式，三角函式常見形式的n階導數公式。

1、冪函式常見形式是y=x^n，它的n階導數是n!. n為正整數，而對任何比n小的正整數m，冪函式y=x^m的n階導數都等於0，包括常數函式的一階的導數等於0，所以n階導數也等於0.

對特殊的冪函式y=1/x， 它的n階導數是(-1)^n*(n!)/x^(n+1) y=1/(1+x)的n階導數類似的為(-1)^n*(n!)/(1+x)^(n+1)而y=1/(1-x)的n階導數就會有所變化，它的n階導數是(n!)/(1-x)^(n+1).

2、對數函式最常見的形式是y=lnx， 它的n階導數正好是1/x的n-1階導數，這是因為lnx的一階導數就是1/x. 所以y=lnx的n階導數是(-1)^(n-1)*((n-1)!)/x^n.

一般的對數函式形式是log_a x， 它的一階導數是1/(xlna)， 所以n階導數是(-1)^(n-1)*((n-1)!)/(x^n*lna).

3、指數函式最常見的形式是y=e^x，它的n階導數是它本身。另一個形式e^(-x)就要考慮符號性質，它的n階導數是(-1)^n*e^(-x).

一般的指數函式是a^x，它的一階導數是a^x*lna， 所以n階函式是a^x*(lna)^n.

4、三角函式最常用的是sinx和cosx. sinx的一階導數正好是cosx， 而cosx的一階導數又正好是-sinx. 為了將它們統一起來，我們記sinx的一階導數是sin(x+π/2)， 因此它的n階導數就是sin(x+nπ/2). 又記cosx的一階導數為cos(x+π/2)， 因此cosx的n階導數就是cos(x+nπ/2).