焦點弦長公式

焦點弦公式2p/sina^2。

證明：設拋物線為y^2=2px(p>0)，過焦點f(p/2，0)的弦直線方程為y=k(x-p/2)，直線與拋物線交於a（x1，y1)，b(x2，y2)。

聯立方程得k^2(x-p/2)^2=2px，整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0，所以，x1+x2=p(k^2+2)/k^2。

由拋物線定義，af=a到準線x=-p/2的距離＝x1+p/2，bf=x2+p/2。

所以：

ab

=x1+x2+p

=p(1+2/k^2+1)

=2p(1+1/k^2)

=2p(1+cos^2/sin^2a)

=2p/sin^2a

焦點的弦長公式：L=2a±2ex。弦長為連線圓上任意兩點的線段的長度。弦長公式在這裡指直線與圓錐曲線相交所得弦長的公式。圓錐曲線是數學、幾何學中通過平切圓錐得到的一些曲線，如：橢圓，雙曲線，拋物線等。

如果一條傾斜角為α的直線過拋物線焦點F，並交拋物線於A.B兩點，則AB的長度為 2P/（sinα）2 （即 2P除以 sinα的平方）

推導過程

設兩交點 A（X1，Y1）B（X2，Y2）(y2-y1)/(x2-x1)=tanα

|AB|=√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]

設直線l為y=tanαx+b且過點（p/2，0)

即直線為y=tanαx-ptanα/2

聯立得到tanα^2x^2-(tanα^2+2)px+p^2tanα^2/4=0

那麼(x2-x1)^2

=(x2+x1)^2-4x1x2

=((tanα^2+2)p/tanα^2)^2-4*(p^2tanα^2/4)/tanα^2

=4p^2(tanα^2+1)/tanα^4

那麼|AB|=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]=2p(tanα^2+1)/tanα^2=2p/(sinα)2