李永樂推導平方和公式

第一，數學歸納法

證明：

當n=1時，左式=1²=1

右式=1×(1+1)(2×1+1)/6=1x2x3/6=1

所以，當n=1時，等式成立。

第二，立方差公式作差累加法

證明：

n³-(n-1)³=1×[n²+n(n-1)+(n-1)²]=3n²-3n+1

1³-0³=3×1²-3×1+1

2³-1³=3×2²-3×2+1

3³-2³=3×3²-3×3+1

……

n³-(n-1)³=3n²-3n+1

各等式全相加

n³=3×(1²+2²+3²+…+n²)-3(1+2+3+4+…+n)+n

=3×(1²+2²+3²+…+n²)-3n(n+1)/2+n

=3×(1²+2²+3²+…+n²)-n(3n+1)/2

故1²+2²+3²+…+n²=[n³+n(3n+1)/2]/3=n(n+1)(2n+1)/6