拋物線面積公式推導過程

拋物線：y^2=2px（但願你說的拋物線是這種形式的，而不是y=ax^2+bx+c）與直線y=kx+b交於兩點AB(A在下，B在上)，C是AB的中點，P在拋物線上且PC平行於x軸。證明：直線與拋物線形成的曲邊形APB面積，是三角形APB面積的三分之四。

證明：

連線AP，BP。取AP中點D，BP中點E。點Q，R都在拋物線上，且DQ，ER都平行於x軸。

（

注：在開始正式的證明之前先說明兩件事。

第一：為便於理解，說明一下整體思路。

因為，大的曲邊形APB面積，可分為3塊，曲邊形AQP、曲邊形BRP、三角形ABP。

做出三角形AQP和三角BRP後，發現兩塊小的曲邊形也各分成了三塊。

我們記三角形ABP的面積為S1，三角形AQP和三角BRP的面積和記為S2。

現在大的曲邊形APB面積，就變成S1+S2+4塊更小的曲變形。

4塊更小的曲變形，又可以分出4個三角形和8個曲變形。即三角形面積和為S3。

以此類推，由極限思想可以發現：大的曲邊形APB面積=S1+S2+S3+S4+...

因此如果我們可以證明，對於任何正整數i。S(i)=4S(i+1)

那麼就可以證明，大的曲邊形APB面積=S1(1+1/4+1/4^2+...)=S1·1/(1-1/4)=4/3 ·S1。

所以，我所需要證明的就是S1=4S2。

（S2=4S3等等，因為剖分的也是一樣的，就同理了，也就不用再證了）

第二：三角形面積的求法。

在解析幾何中求三角形面積的方法很多，但我在這道題只用一種方法

這裡以三角形ABP面積舉例，在後面的證明中就不再證明了，將會直接用公式：

三角形ABP面積=1/2·（X(C)-X(P)）(Y(B)-Y(A))。

這是因為：

三角形ABP面積=ACP面積+BCP面積

=1/2CP·(Y(C)-Y(A))+1/2CP·(Y(B)-Y(C)

=1/2CP·(Y(B)-Y(A))

=1/2·（X(C)-X(P)）(Y(B)-Y(A))。

好了，廢話都說完了，下面是證明，計算量較大，做好心理準備。

其實有了上面這些思路，後面也能自計算出來，不看也罷。

）

設A(x1，y1)B(x2，y2)

則它們是方程組：

y=kx+b

y^2=2px

的解。

消去y： (kx+b)^2=2px

展開整理： k^2x^2+(2kb-2p)x+b^2=0

故 x1+x2=(2p-2kb)/k^2

| x1x2=b^2/k^2

所以

(x2-x1)^2 =(x1+x2)^2-4x1x2 =4(p^2-2pkb)/(k^4)

y1+y2 =kx1+b+kx2+b =k(x1+x2)+2b =2p/k

(y2-y1)^2 =[(kx2+b)-(kx1+b)]^2 =k^2(x2-x1)^2 =4(p^2-2pkb)/(k^2)

拋物線面積公式推導過程

拋物線弓形面積公式等於：

以割線為底，以平行於底的切線的切點為頂點的內接三角形的4／3

即：拋物線弓形面積＝S＋1／4＊S＋1／16＊S＋1／64＊S＋……＝4／3＊S

記f（x）＝ax＾2＋bx＋c＝0的兩根為p，q令F（x）＝（a／3）x＾3＋（b／2）＊x＾2＋c＊x則面積S＝［F（q）－F（p）］［］表示絕對值。

拋物線面積弧長公式面積Area＝2ab／3，弧長ArclengthABC。

＝√（b＾2＋16a＾2）／2＋b＾2／8aln（（4a＋√（b＾2＋16a＾2））／b）。

拋物線引數方程

拋物線y^2=2px(p>0)的引數方程為:

x＝2pt＾2

y＝2pt

其中引數p的幾何意義，是拋物線的焦點F（p／2，0）到準線x＝－p／2的距離，稱為拋物線的焦引數。

擴充套件資料

拋物線頂點座標公式

y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的頂點座標公式是（－b／2a，（4ac－b²）／4a）

y＝ax²＋bx的頂點座標是（－b／2a，－b²／4a）

拋物線標準方程

右開口拋物線：y^2=2px左開口拋物線:y^2= -2px上開口拋物線：x^2=2py y=ax^2（a大於等於0）下開口拋物線:x^2= -2py y=ax^2（a小於等於0）[p為焦準距（p>0）]。

特點在拋物線y＾2＝2px中，焦點是（p／2，0），準線的方程是x＝－p／2，離心率e＝1，範圍：x≥0。

在拋物線y＾2＝－2px中，焦點是（－p／2，0），準線的方程是x＝p／2，離心率e＝1，範圍：x≤0。

在拋物線x＾2＝2py中，焦點是（0，p／2），準線的方程是y＝－p／2，離心率e＝1，範圍：y≥0。

在拋物線x＾2＝－2py中，焦點是（0，－p／2），準線的方程是y＝p／2，離心率e＝1，範圍：y≤0