a的x次方的高階導數推導過程

詳細過程是，設f(x)=a^x，a>0。根據定義，f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/△x。

∴f'(x)=lim(△x→0)[a^(x+△x)-a^x]/△x=(a^x)lim(△x→0)[a^(△x)-1]/△x。

而，a^(△x)=e^[(△x)lna]。應用e^x的麥克勞林級數，∴a^(△x)=1+(△x)lna+(1/2!)[(△x)lna]²+O(△x²)。

∴f'(x)=(a^x)lim(△x→0)[1+(△x)lna+(1/2!)[(△x)lna]²+O(△x²)-1]/△x=(lna)a^x。

供參考。