單調收斂定理與控制收斂定理

設0≤X1≤X2≤…≤Xn≤…是一單調非負隨機變數列。那麼，若Xn(處處)收斂於隨機變數X，則相應的數學期望列EX1，EX2，…，EXn，…收斂於X的數學期望EX，這種現象稱為單調收斂定理。

控制收斂定理：如果逐點收斂的函式列的每一項都能被同一個勒貝格可積的函式“控制”（即對變數的任何取值，函式的絕對值都小於另一個函式），那麼函式列的極限函式的勒貝格積分等於函式列中每個函式的勒貝格積分的極限。勒貝格控制收斂定理顯示出勒貝格積分相比於黎曼積分的優越性，在數學分析和實變函式論中有很大的應用。