三角形垂心共點證明

三角形的三條邊的高線交於一點，這點就叫做三角形的垂心。他的證明很簡單，我們可以用面積法來證明，或者是用畫圖法來加以證明對於銳角三角形它的三條邊的高，線交於銳角三角形內一點，對於直角三角形它的三條高線交於直角頂點上，對於鈍角三角形我們做三邊當中的有兩條邊的延長線，分別做他們的高線，然後延長他們，也交於三角形外一點。

三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心，依次位於同一直線上，這條直線就叫三角形的尤拉線.

尤拉於1765年在它的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心在尤拉線上，即三角形的重心、垂心和外心共線.

尤拉線的證明：作△ABC的外接圓，連結並延長BO，交外接圓於點D.連結AD、CD、AH、CH、OH.作中線AM，設AM交OH於點G’.∵ BD是直徑，∴ ∠BAD、∠BCD是直角.∴ AD⊥AB，DC⊥BC.∵

CH⊥AB，AH⊥BC，∴ DA‖CH，DC‖AH.∴ 四邊形ADCH是平行四邊形，∴ AH=DC.∵ M是BC的中點，O是BD的中點.∴ OM= DC.∴ OM= AH.∵ OM‖AH，∴ △OMG’ ∽△HAG’.∴ .∴ G’是△ABC的重心.∴ G與G’重合.∴ O、G、H三點在同一條直線上.