為什麼sinx和x的等價無窮小

x與sinx是等價無窮小的原因：lim(x→0)sinx/x=1，這就說明x→0時sinx與x是等價無窮小，因此可以代換。

用泰勒公示展開sinx=x-x^3/3！+x^5/5！-x^7/7！+x^9/9！+Rn（x），x趨於0時只剩下x項，其餘都是高階小量，sinx和x等價無窮小，洛必達法則，sinx/x上下分別求導後為cosx/1，x等於0時該值為1，所以sinx和x等價無窮小。

等價無窮小替換

是計算未定型極限的常用方法，它可以使求極限問題化繁為簡，化難為易。求極限時，使用等價無窮小的條件：被代換的量，在取極限的時候極限值為0被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。

如果lim b/a^n=常數，就說b是a的n階的無窮小， b和a^n是同階無窮小。特殊地，如果這個常數是1，且n=1，即lim b/a=1，則稱a和b是等價無窮小的關係。

當x趨於0時，sinx/x的極限等於1，這個結論有多種證明方法，根據等價無窮小的概念，我們可以說x趨於0時，sinx和x是等價無窮小。

當x趨向於0時sinx與x是等價無窮小。說到這個結論我們必須回頋到微分學中一個重要的結論，就是兩個重要的極限之一的lim(x→0)sinx/x=|(限於篇幅，這裡不證明了)，這個結論在微積分中的應用真不一般。由於這個結論的存在我們就有當x→0時sinx等價於x。