所有周期函式都有最小正週期嗎

不是所有周期函式都有最小正週期。周期函式f（x）的週期T是與x無關的非零常數，存在沒有最小正週期的函式，而這個函式就是狄利克雷函式。

狄利克雷函式（是一個定義在實數範圍上、值域不連續的函式。狄利克雷函式的影象以Y軸為對稱軸，是一個偶函式，它處處不連續，處處極限不存在，不可黎曼積分。

實數域上的狄利克雷（Dirichlet）函式表示為：

（k，j為整數）也可以簡單地表示分段函式的形式D(x)= 0（x是無理數）或1（x是有理數）

假設f(x)=0，x為無理數

f(x)=1，x為有理數

由有理數和無理數的運算法則可以知道，所有的有理數與有理數的和都是有理數，與無理數的和都是無理數。

那麼對於這個函式而言，取T為任意有理數，就都滿足了，無論x是有理數還是無理數，這就意味著狄利克雷就是一個周期函式。它的最小正週期是最小的有理數，而顯然是不存在最小的有理數的，因而這個函式也就沒有最小正週期了。