泊松分佈的期望和方差

泊松分布是一個離散型隨機變數分佈，其分佈律是：

P(X=k)=λke−λk!

P(X=k)=λke−λk!

根據離散型隨機變數分佈的期望定義，泊松分佈的期望：

E(X)=∑k=0∞k⋅λke−λk!

E(X)=∑k=0∞k⋅λke−λk!

因為k=0時：

k⋅λke−λk!=0

k⋅λke−λk!=0

所以：

E(X)=∑k=1∞k⋅λke−λk!

E(X)=∑k=1∞k⋅λke−λk!

做一下變換：

E(X)=∑k=1∞k⋅λke−λk!=∑k=1∞λke−λ(k−1)!=∑k=1∞λk−1λe−λ(k−1)!=λe−λ∑k=1∞λk−1(k−1)!

E(X)=∑k=1∞k⋅λke−λk!=∑k=1∞λke−λ(k−1)!=∑k=1∞λk−1λe−λ(k−1)!=λe−λ∑k=1∞λk−1(k−1)!

這裡需要用到泰勒展開式，我們知道常用的泰勒展開式中：

ex=1+x+x22!+x33!+...+xnn!+...=∑k=1∞xk−1(k−1)!

ex=1+x+x22!+x33!+...+xnn!+...=∑k=1∞xk−1(k−1)!

因此，泊松分佈的期望為:

E(X)=λe−λ∑k=1∞λk−1(k−1)!=λe−λeλ=λ

E(X)=λe−λ∑k=1∞λk−1(k−1)!=λe−λeλ=λ

對於方差 D(X)D(X)，先求出 E(X2)E(X2):

E(X2)=∑k=0∞k2⋅λke−λk!=λe−λ∑k=1∞kλk−1(k−1)!=λe−λ∑k=1∞(k−1+1)λk−1(k−1)!

E(X2)=∑k=0∞k2⋅λke−λk!=λe−λ∑k=1∞kλk−1(k−1)!=λe−λ∑k=1∞(k−1+1)λk−1(k−1)!

=λe−λ(∑m=0∞m⋅λmm!+∑m=0∞λmm!)(m=k−1)

=λe−λ(∑m=0∞m⋅λmm!+∑m=0∞λmm!)(m=k−1)

=λe−λ(λ⋅∑m=1∞λm−1(m−1)!+∑m=0∞λmm!)

=λe−λ(λ⋅∑m=1∞λm−1(m−1)!+∑m=0∞λmm!)

=λe−λ(λeλ+eλ)=λ(λ+1)

=λe−λ(λeλ+eλ)=λ(λ+1)

所以：

D(X)=E(X2)−(E(X))2=λ(λ+1)−λ2=λ

D(X)=E(X2)−(E(X))2=λ(λ+1)−λ2=λ

因此，泊松分佈的期望和方差為：

E(X)=λ

E(X)=λ

D(X)=λ