柯西乘積公式及推導

二元柯西不等式，a，b，x，y∈R，則（a＾2＋b＾2）（x＾2＋y＾2）≥（ax＋by）＾2。證明：（a＾2＋b＾2）（X＾2＋y＾2）一（aX＋by）＾2＝a＾2y＾2＋b＾2X＾2一2abXy＝（ay－bX）＾2≥0。若且唯若ay＝bX時取等號。

是兩組數列{displaystyle a_{n}，b_{n}}的離散卷積相乘，{displaystyle c_{n}=sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}，該數列乘積被認為是自然數{displaystyle R[mathbb {N} ]}的半群環的元素。

一般地，對於實數和複數，柯西乘積定義為如下的離散卷積形式：

{displaystyle left(sum _{n=0}^{infty }a_{n}right)cdot left(sum _{n=0}^{infty }b_{n}right)=sum _{n=0}^{infty }c_{n}，}

這裡{displaystyle c_{n}=sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}，，n=0，1，2，ldots }。