柯西分佈特徵函式推導

取 X 表示柯西分佈隨機變數，則柯西分佈的特性函式表示為：

Φx(tX0，γ)=exp(i*X0*t-γ*t的絕對值)

如果 U 與 V 是期望值為 0、方差為 1 的兩個獨立常態分佈隨機變數的話，那麼比值 U/V 為柯西分佈。

柯西分布是一個數學期望不存在的連續型分佈函式，它同樣具有自己的分佈密度，滿足

分佈函式F(X)=1/2+1/π*arctanx，-∞<x<+∞

密度函式ф(x)=1/[π(1+x^2)]，-∞<x<+∞

的稱為標準柯西分佈。

記為C(θ，α)。

對X有柯西分佈C(θ，α)， 令Y=(X-θ)/α， 則稱Y有C(0，1)分佈。對於C(0，1)分佈稱為標準的柯西分佈。常態分佈也有類似的性質。

柯西分佈有兩個引數θ、a， 概率密度函式p.d.f.的圖形亦為鐘形，不仔細看， 還不容易與常態分佈p.d.f.的圖形區別。插圖中，我們把柯西分佈和常態分佈的p.d.f.之圖形放在一起比較。可發現，，柯西分佈p.d.f.之圖形下降至0的速度慢很多。