內接三角形周長最小最簡潔證明

三角形內周長最短的內接三角形 證明： 在△ABC 的每條邊上各取一點 D、 E、 F， △DEF 稱為△ABC 的內接三角形。 試在銳角三角形 ABC 的所有內接三角形中， 求周長最短的三角形。 證明： 可將此題分三步來做 （

設 D 是 BC 上固定點， 求此時的周長最短的內接三角形。 作 D 關於 AB、 AC 的對稱點 D1、 D2， 連 D1D2 交 AB、 AC 於E、 F， 則△DEF 為所求。 實際上， 對於△ABC 的任一內接△DE′F′都有 DE′+E′F′+F′D=D1E′+E′F′+F′D2 ≥D1D2=D1E+EF+FD2 =DE＋ EF＋ FD。 就是△DEF 的周長≤△DEF 的周長。 因此， 我們只要對於每一個 BC 上的點 D， 都找出相應於該點的周長最短的內接三角形DEF，在這些三角形中找出周長最短的一個就行。 （

由於 AD1=AD， AD2=AD， 故△AD1D2 是等腰三角形。 又由於∠1=∠2，∠3=∠4，故△AD1D2 的頂角∠D1AD2=2∠BAC 為定值，因此，只有當其腰 AD1 最短時，D1D2 最短。此時必有 AD 最短。從而當 AD為△ABC 的高時， 內接三角形 DEF 的周長最短。 （

當 AD 為△ABC 的高時， 由前面三角形垂足三角形性質， 可證△ABC 的內接三角形中， 以其垂足三角形 DEF 的周長最短。 證畢 其實還可以證明△ABC 的垂心 H 是△DEF 的內心。 由∠BEA=∠BDA=90°， 知 B、 D、 E、 A 共圓， 於是∠CDE=∠BAC。 同樣， 由 A、 F、 D、 C 共圓， 可知∠BDF=∠BAC， 於是∠CDE=∠BDF。 從而可知 DA 平分∠EDF。 同理 FC 平分∠DFE，EB 平分∠DEF。故 H 是△DEF 的內心。