二階偏導數寫法

二元函式z=f（x，y）的二階偏導數共有四種情況：

（1）∂z²/∂x²=[∂（∂z/∂x）]/∂x

（2）∂z²/∂y²=[∂（∂z/∂y）]/∂y

（3）∂z²/（∂y∂x）=[∂（∂z/∂y）]/∂x，

（4）∂z²/（∂x∂y）=[∂（∂z/∂x）]/∂y其中，∂z²/（∂y∂x），∂z²/（∂x∂y）稱為函式對x，y的二階混合偏導數，其求法上面已給出了基本公式，下面舉例說明，設二元函式z=sin（x/y），求∂z²/（∂y∂x），∂z²/（∂x∂y），解∵∂z/∂x=（1/y）cos（x/y），∂z/∂y=（－x/y²）cos（x/y），∴∂z²/（∂y∂x）=[∂（∂z/∂y）]/∂x=（－1/y²）cos（x/y）+（x/y^3）sin（x/y）。∂z²/（∂x∂y）=[∂（∂z/∂x）]/∂y=（－1/y²）cos（x/y）+（x/y^3）sin（x/y）。

∂z/∂x=[√(x²+y²)-x·2x/2√(x²+y²)]/(x²+y²)=y²/[(x²+y²)^(3/2)]

∂z/∂y=-x·2y/2√(x²+y²)^(3/2)]=-xy/[(x²+y²)^(3/2)]

∂²z/∂x²=-(3/2)y²·2x/[(x²+y²)^(5/2)]=-3xy²/[(x²+y²)^(5/2)]

∂²z/∂x∂y=[2y·[(x²+y²)^(3/2)-y²·(3/2)·[(x²+y²)^(1/2)2y]/[(x²+y²)³]