雙曲線的第三定義推導過程

雙曲線第三定義是平面內的動點到兩定點A1(a，0)、A2(-a，0)的斜率乘積等於常數e^2-1的點的軌跡叫做橢圓或雙曲線.其中兩定點分別為橢圓或雙曲線的頂點。當常數大於-1小於0時為橢圓當常數大於0時為雙曲線。與兩個固定的點（叫做焦點）的距離差是常數的點的軌跡，這個固定的距離差是a的兩倍。

曲線第三定義的性質

平面內動點到兩定點A1(a，0)和A2(-a，0)的斜率乘積等於常數e-1的點的軌跡為橢圓或雙曲線。其中兩定點為橢圓或雙曲線的頂點。當0<e<1時為橢圓，當e>1時為雙曲線。

圓錐曲線（二次曲線）的（不完整）統一定義是到定點（焦點）的距離與到定直線（準線）的距離的商是常數e（離心率）的點的軌跡。當e>1時，為雙曲線的一支，當e=1時，為拋物線，當0<e<1時，為橢圓，當e=0時，為一點。

當平面與二次錐面的母線平行，且不過圓錐頂點，結果為拋物線。當平面與二次錐面的母線平行，且過圓錐頂點，結果退化為一條直線。

雙曲線。

（1）定義①平面內到兩個定點f1，f2的距離之差的絕對值等於定值2a（0<2a<|f1f2|）的點的軌跡。

②到定點煌距離和定直線的距離之比為e(e＞1).

(2)幾何性質：

焦點：

頂點：

對稱軸：x軸，y軸

離心率：

e越大，開口越闊。

準線：

漸近線：

焦半徑：雙曲線上任意一點m與雙曲線焦點

的連線段，叫做雙曲線的焦半徑。

焦點在x軸上的雙曲線的焦半徑公式：

焦點在y軸上的雙曲線的焦半徑公式：

（其中

分別是雙曲線的下上焦點）

（“左加右減，下加上減”，和拋物線記訣相反，和橢圓記訣同，但多了絕對值）

焦點弦：

過焦點的直線割雙曲線所成的相交弦

通徑：過焦點且垂直於對稱軸的相交弦．直接應用焦點弦公式得

．

（3）當a=b時⇔離心率e=

⇔兩漸近線互相垂直，分別為

此時雙曲線為等軸雙曲線，可設為

＞0時，焦點在x軸

＜0時，焦點在y軸。

（4）共軛雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線．

特徵：①共同一對漸近線

②原雙曲線和其共軛雙曲線的焦點在同一個圓上

③求共軛雙曲線方法：將1改為—1。

（5）共漸近線系的雙曲線：

（

≠0

每一個實數值對應著一條雙曲線）

（6）雙曲線的方程與漸近線方程的關係

①若雙曲線方程為

漸近線方程：

②若漸近線方程為

雙曲線可設為

③若雙曲線與

有公共漸近線，可設為

（

焦點在x軸上

焦點在y軸上）.