雙曲線中點弦公式推導

中點弦公式：py-αx=pβ-α2

中點弦

對於給定點P和給定的圓錐曲線C，若C上的某條弦AB過P點且被P點平分，則稱該弦AB為圓錐曲線C上過P點的中點弦。其中圓錐曲線弦為連線圓錐曲線C上不同兩點A、B的線段AB稱為圓錐曲線C的弦。

二次曲線中點弦性質與蝴蝶定理：

蝴蝶定理是二次曲線一個著名定理，它充分體現了蝴蝶生態美與“數學美”的一致性．不少中數專著或雜誌至今還頻繁討論．本文揭示了它與中點弦性質的緊密聯絡，並給出統一而簡明的證明，指出了一種有用的特殊情形和一種推廣形式．

引理：設兩條不同的二次曲線

S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0

設雙曲線方程為x^2/a^2-y^2/b^2=1

弦上兩點分別為(x1，y1)，(x2，y2)，弦中點為(x0，y0)，弦所在直線的斜率為k

則k=(y1-y2)/(x1-x2)，x0=(x1+x2)/2，y0=(y1+y2)/2

將(x1，y1)，(x2，y2)，代入雙曲線方程

x1^2/a^2-y1^2/b^2=1 （1）

x2^2/a^2-y2^2/b^2=1 （2）

（1）-（2）得

(x1^2-x2^2)/a^2=(y1^2-y2^2)/b^2

[(x1-x2)(x1+x2)]/a^2=[(y1-y2)(y1+y2)]/b^2

得到k=(b^2/a^2)*(x0/y0)