導數零點定理公式推導過程

(b)>0，令

E={x|f(x)≤0，x∈[a，b]}。

由f(a)<0知E≠Φ，且b為E的一個上界，於是根據確界存在原理

存在ξ=supE∈[a、b]

下證f(ξ)=0（注意到f(a)≠0，f(b)≠0，故此時必有ξ∈(a、b)），事實上

(i)若f(ξ)<0，則ξ∈[a、b)，由函式連續的區域性保號性知

存在δ>0，對x1∈(ξ，ξ+δ)：f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE

這與supE為E的上界矛盾

(ii)若f(ξ)>0，則ξ∈(a，b]，仍由函式連續的區域性保號性知

存在δ>0，對x1∈(ξ-δ，ξ):f(x)>0→存在x1為E的一個上界，且x1<ξ

這又與supE為E的最小上界矛盾。

綜合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。

導數公式推導過程如下：

y=a^x，△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1），△y/△x=a^x(a^△x-1）/△x。

如果直接令△x→0，是不能匯出導函式的，必須設一個輔助的函式β=a^△x-1通過換元進行計算。由設的輔助函式可以知道：△x=loga（1+β）。

所以（a^△x-1）/△x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β）^1/β。

顯然，當△x→0時，β也是趨向於0的。而limβ→0（1+β）^1/β=e，所以limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna。

把這個結果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）/△x後得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

可以知道，當a=e時有y=e^x y'=e^x。

常用導數：

y = C(C為常數) ， y' = 0。

y=xn， y' = nxn-1。

y = ax， y' = lna*ax。

y = ex， y' = ex。

y = logax ， y' = 1 / (x*lna)。

y = lnx ， y' = 1/x。

y = sinx ， y' = cosx。

y = cosx ， y' = -sinx。

y = tanx ， y' = 1/cos2x = sec2x。

y = cotx ， y' = -1/sin2x= -csc2x。

y = arcsinx ， y' = 1 / √(1-x2)。

y = arccosx ， y' = - 1 /√(1-x2)。

y = arctanx ， y' = 1/(1+x2)。